Pham Tiep, professeur de mathématiques à l’Université Rutgers-New Brunswick, est parvenu à résoudre une énigme complexe laissée de côté depuis des décennies. Il vient en effet de trouver la solution à deux problèmes mathématiques vieux de plus de 60 ans. Ces découvertes, bien que très abstraites, pourraient transformer notre compréhension des symétries et des processus aléatoires dans des domaines comme la physique, l’informatique et même l’économie.
Résoudre des énigmes complexes
Souvent perçues comme abstraites, les mathématiques jouent en réalité un rôle fondamental dans notre compréhension du monde. Les mathématiciens s’efforcent de résoudre des problèmes complexes. Et une fois résolues, ces énigmes peuvent avoir des applications concrètes dans des disciplines aussi variées que l’ingénierie, la chimie ou encore la technologie de l’information.
L’un des outils principaux utilisés par les mathématiciens est ce que l’on appelle une conjecture. Concrètement, il s’agit d’une idée ou d’une hypothèse que l’on croit vraie, mais qui doit encore être prouvée à l’aide de démonstrations rigoureuses. L’une de ces conjectures est celle posée en 1955 par Richard Brauer qui résistait depuis aux tentatives de démonstration.
Il y a quelques jours, Pham Tiep, de l’Université Rutgers-New Brunswick, a finalement résolu ce casse-tête mathématique. Il a également trouvé par la même occasion la solution à un autre problème important dans un domaine connexe des mathématiques.
La conjecture de hauteur zéro
La première percée de Tiep concerne la fameuse conjecture de Richard Brauer, un mathématicien germano-américain de renom. Cette conjecture porte sur la théorie des groupes finis, un domaine qui étudie les structures d’objets mathématiques et comment ils se comportent ensemble. Pour simplifier, c’est un peu comme si Tiep avait découvert une nouvelle règle cachée qui permet de mieux comprendre l’organisation et les symétries dans la nature et dans les sciences.
Cette découverte aide les scientifiques à mieux comprendre les règles qui gouvernent des systèmes complexes et des processus naturels. Par exemple, cette théorie pourrait un jour être utilisée pour décrire des phénomènes naturels, améliorer les systèmes de cryptographie ou optimiser des algorithmes en informatique.
Comprendre les matrices
La deuxième percée du mathématicien concerne un concept appelé matrice. Imaginez une grille de chiffres organisée en lignes et colonnes. Une des propriétés intéressantes de cette grille est ce que l’on appelle sa trace : c’est la somme des chiffres qui se trouvent sur la diagonale. Résoudre des problèmes liés aux traces des matrices peut sembler théorique, mais cela a des implications très pratiques.
Les matrices et leurs propriétés sont en effet utilisées dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques. Que ce soit pour analyser des données en grandes quantités, simuler des processus physiques complexes ou encore crypter des informations, comprendre les matrices est essentiel. Or, Tiep a trouvé une nouvelle manière de résoudre des problèmes liés aux traces, ce qui ouvre ainsi la porte à des avancées potentielles dans des domaines comme l’informatique ou la physique des particules.
Le processus de découverte
Un des aspects fascinants du travail de Pham Tiep est sa méthode de travail. Contrairement aux chercheurs en sciences expérimentales qui s’appuient sur des équipements sophistiqués, Tiep mène ses recherches principalement avec un stylo et du papier. « Je me promène avec mes enfants, je jardine avec ma femme ou je fais simplement quelque chose dans la cuisine, et c’est à ces moments-là que des idées me viennent », explique-t-il.
Cependant, ces découvertes ne sont pas le fruit du hasard. Elles résultent de longues années de travail acharné, souvent en collaboration avec d’autres mathématiciens du monde entier pour apporter des solutions à des problèmes réputés insolubles. Par exemple, pour la première découverte, Tiep a collaboré avec des chercheurs d’Allemagne, d’Espagne et des États-Unis. Pour la deuxième percée, il a travaillé avec des collègues de Californie et d’Indiana.
Les mathématiques dans la vie quotidienne
Bien que ces découvertes puissent sembler éloignées de la vie quotidienne, elles pourraient avoir des retombées très concrètes. Par exemple, la théorie des groupes et la théorie des représentations (un outil utilisé par Tiep) sont essentielles dans l’étude des symétries. Ces symétries se retrouvent dans la nature (des molécules aux cristaux) et sont également utilisées pour coder des messages sécurisés et créer des systèmes de correction d’erreurs dans les télécommunications.
En suivant les principes de la théorie des représentations, les mathématiciens peuvent également prendre des formes géométriques complexes et les transformer en tableaux de chiffres. Cela permet de décomposer ces formes et de les comprendre d’une manière plus simple. Les applications vont de la physique théorique à la chimie en passant par la cryptographie où cette compréhension est utilisée pour coder et sécuriser des informations sensibles.
Un impact au-delà des mathématiques pures
Les travaux de Pham Tiep montrent que les avancées en mathématiques, bien qu’apparemment abstraites, peuvent avoir des applications insoupçonnées dans d’autres disciplines. Par exemple, la résolution de problèmes complexes liés à la théorie des groupes et aux matrices pourrait influencer la conception de nouveaux matériaux, optimiser les réseaux de télécommunication ou encore améliorer les algorithmes d’intelligence artificielle. Ces percées illustrent comment la recherche fondamentale en mathématiques devient un moteur d’innovation dans des domaines où les défis techniques et scientifiques nécessitent des solutions inédites.
