Pourquoi est-il si courant de partager un anniversaire avec des amis ?

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Le paradoxe des anniversaires est l’un des problèmes les plus intrigants et fascinants en mathématiques et en probabilités. Il pose la question de savoir combien de personnes il faut rassembler dans une pièce pour qu’il y ait une probabilité d’au moins 50 % que deux personnes aient leur anniversaire le même jour. La réponse à cette question apparemment simple est à la fois surprenante et contre-intuitive.

Un problème fascinant

Sur le nombre de personnes que vous connaissez, combien partagent votre anniversaire ? La réponse est généralement plus élevée que prévu compte tenu du nombre de jours dans une année. Vous l’avez peut-être déjà remarqué dans votre l’une de vos anciennes classes à l’école. Dans un groupe de vingt à trente enfants, au moins deux autres partagent souvent un anniversaire. On parle alors de paradoxe des anniversaires.

Le terme a été introduit par le mathématicien américain, Martin Gardner, dans un article intitulé « Mathematical Games » qu’il a écrit pour la revue Scientific American en 1957. Gardner avait présenté le problème comme une façon amusante d’illustrer le concept de probabilité et de montrer comment les résultats peuvent parfois être contre-intuitifs.

Depuis, le paradoxe des anniversaires est devenu un problème populaire en mathématiques et en statistiques, souvent utilisé pour enseigner les concepts de probabilité, d’échantillonnage et de distribution. D’autres auteurs ont également développé des variations du problème pour explorer des idées connexes, telles que les lois de probabilités cumulatives et la théorie des jeux.

La probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour dépend du nombre total de jours dans une année (365 ou 366 pour les années bissextiles) et du nombre de personnes dans une pièce. Si l’on considère que chaque personne a une chance égale d’avoir son anniversaire n’importe quel jour de l’année, la formule est la suivante :

[(365!)/((365^n)(365-n)!)]

Dans cette formule, « n » est le nombre de personnes dans le groupe et « ! » signifie « factorielle », c’est-à-dire la multiplication de tous les nombres entiers de 1 à n.

paradoxe des anniversaires
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Pour expliquer cette formule, désignez un groupe de deux personnes. La probabilité que la première personne ait une date d’anniversaire spécifique est de 1/365, car il y a 365 dates possibles. La probabilité que le deuxième individu ait la même date d’anniversaire est également de 1/365, car il doit avoir cette date spécifique sur les 365 jours de l’année.

Pour calculer la probabilité qu’au moins deux personnes aient la même date d’anniversaire, nous devons trouver la probabilité que deux personnes aient des dates différentes pour chaque paire possible de personnes dans le groupe. Il y a n(n-1)/2 paires de personnes dans le groupe. Ainsi, pour le groupe de deux personnes, la probabilité qu’elles aient des dates d’anniversaire différentes est de :

[(365!)/((365^2)(365-2)!)] = 1 – (364/365) = 0,00274

Cela signifie que la probabilité qu’au moins deux personnes dans un groupe de deux aient la même date d’anniversaire est d’environ 0,27%.

Pour un groupe plus grand de n personnes, la formule devient plus compliquée, mais elle suit la même logique. La probabilité augmente rapidement avec le nombre d’individus dans le groupe. Au bout du compte, on découvre alors qu’il faut environ 23 personnes dans la pièce pour qu’il y ait une chance d’environ 50 % que deux personnes aient leur anniversaire le même jour.

Ce résultat montre à quel point les probabilités peuvent être contre-intuitives. En réalité, des phénomènes apparemment aléatoires peuvent en fait être prédits avec précision en utilisant des modèles mathématiques.