Cette nouvelle forme peut faire ce qu’aucune autre ne peut

Il y a quelques mois, après une décennie de tentatives infructueuses, David Smith, un amateur de formes autoproclamé de Bridlington, dans l’East Yorkshire (Angleterre), a finalement découvert son « einstein ». On ne parle pas ici du célèbre physicien. En termes moins poétiques, un einstein est un « monotile apériodique », une forme qui recouvre un plan ou une surface plane bidimensionnelle infinie uniquement selon un motif non répétitif. Que retenir de cette incroyable découverte ?

Un einstein sorti du chapeau

Cette fois, le « einstein » qui va (peut-être) changer le monde des mathématiques et de la physique est un minuscule polygone oblique. Le terme vient de l’allemand « ein stein » qui signifie « une pierre » ou plus vaguement « une forme ». Surnommée « Le Chapeau », cette forme peut faire quelque chose qu’aucune autre ne peut faire : s’articuler avec elle-même de telle manière à ce qu’elle puisse couvrir une surface infinie sans jamais créer de motif répétitif. À l’inverse, votre papier peint ou votre carrelage s’appuie probablement sur un motif infini, mais qui se répète périodiquement.

Jusqu’à présent, le pavage apériodique (qui ne se répète jamais donc) le plus célèbre avait été créé par Roger Penrose en 1974. Cependant, il fallait encore deux formes distinctes pour opérer. Au cours de ces cinq dernières décennies, les mathématiciens s’étaient alors interrogés sur la possibilité de n’utiliser qu’une seule forme.

Nous savons désormais que c’est effectivement possible grâce au mathématicien non professionnel David Smith. Ce dernier s’est entouré d’universitaires venus du Royaume-Uni et des États-Unis pour confirmer sa découverte. Leur « Chapeau » à treize côtés est une forme polykite composée de huit « cerfs-volants » (forme de diamant) reliés par leurs bords. Bien que le document n’ait pas encore été examiné par des pairs, les experts estiment qu’il est susceptible de résister à un examen minutieux.

Un long travail

Identifier cette forme et prouver son apériodicité aura nécessité une bonne dose de créativité et quelques ordinateurs très puissants. « Vous recherchez littéralement une chose sur un million. Vous filtrez les 999 999 ennuyeux, puis vous obtenez quelque chose de bizarre et cela mérite une exploration plus approfondie », détaille Chaim Goodman-Strauss, du National Museum of Mathematics, à New Scientist. « Et puis, à la main, vous commencez à les examiner et essayez de les comprendre« .

Une fois cette forme suspectée, la première étape consistait à définir un ensemble de quatre « métatiles », des formes simples qui remplacent de petits groupes d’un, deux ou quatre chapeaux. Celles-ci s’organisent à leur tour en « supertiles » encore plus grandes et ainsi de suite, ce qui est un comportement courant dans les pavages non périodiques. Les chercheurs ont ensuite réussi à démontrer que ce type d’assemblage hiérarchique était le seul moyen d’obtenir le pavage de leur surface.

Quelles applications pour cette nouvelle forme ?

Les implications de cette découverte s’étendent au-delà du département de mathématiques de l’université locale. Les pavages apériodiques sont en effet importants dans le développement des quasi-cristaux. Contrairement aux cristaux qui ont une structure périodique parfaitement régulière, les quasi-cristaux ont une structure périodique irrégulière. Cette dernière est cependant suffisamment ordonnée pour produire des motifs répétitifs sans jamais se répéter précisément.

Découverts en 1982, ces quasi-cristaux ont des propriétés uniques qui pourraient être utiles dans de nombreux domaines. Ils ont par exemple une conductivité thermique très faible, ce qui les rend intéressants pour les applications dans les isolants thermiques. Ils ont également des propriétés optiques uniques qui pourraient être utilisées dans les technologies de l’énergie solaire et de l’optique. Pour le reste d’entre nous, cette nouvelle forme représentera peut-être simplement une nouvelle option pour les carreaux de salle de bain.