Les mathématiciens pensaient que ce problème d’algèbre était impossible… Deux génies ont peut-être trouvé la solution

Pendant des siècles, une idée simple a hanté les mathématiciens : peut-on résoudre toutes les équations polynomiales, quelle que soit leur complexité ? La réponse semblait claire depuis le 19e siècle : non. Si les équations quadratiques, cubiques ou de degré 4 peuvent être résolues par des formules explicites, aucune formule universelle n’existe pour les polynômes de degré supérieur à 4. C’est un fait enseigné dans tous les cours d’algèbre avancée.

Et pourtant, deux chercheurs viennent de proposer une nouvelle voie inattendue pour contourner cette impasse. En combinant géométrie, combinatoire et une bonne dose de créativité, ils affirment avoir construit une méthode qui permet de résoudre certains de ces polynômes complexes avec des outils bien différents des méthodes classiques.

Une alliance improbable : un « hérétique » mathématicien et un expert des algorithmes

Derrière cette percée, on trouve Norman “NJ” Wildberger, professeur honoraire de mathématiques à l’université de Nouvelle-Galles du Sud (Australie), connu pour ses positions très critiques à l’égard des fondements traditionnels de sa discipline. Wildberger milite notamment pour l’abandon des notions d’infini et de nombres irrationnels dans certaines branches des mathématiques. Un positionnement radical qui lui vaut le surnom de « mathématicien hérétique ».

À ses côtés, Dean Rubine, informaticien passé par Bell Labs et Carnegie Mellon, aujourd’hui directeur technique dans un hedge fund spécialisé dans les algorithmes. Leur collaboration démarre sur YouTube, où Wildberger publie depuis 2021 une série de vidéos pédagogiques dans lesquelles il affirme vouloir s’attaquer à un “problème insoluble” : trouver une nouvelle méthode de résolution pour les polynômes généraux. Intrigué, Rubine le suit de près. Deux ans et 41 vidéos plus tard, Wildberger n’a toujours pas rédigé d’article scientifique. Alors Rubine s’en charge lui-même, en structurant leurs travaux dans une publication co-signée.

L’arme secrète : les nombres de Catalan

Pour contourner les blocages classiques, le duo s’appuie sur une structure mathématique familière aux géomètres et informaticiens : les nombres de Catalan. Ces entiers naturels apparaissent dans de nombreux problèmes combinatoires : organisation d’arbres binaires, parenthésage d’expressions, triangulations de polygones, etc.

Les auteurs postulent que ces nombres peuvent aussi servir de base géométrique et combinatoire pour reconstruire les solutions d’équations polynomiales complexes. En explorant cette idée, ils développent une nouvelle structure mathématique : le tableau hyper-catalan, une sorte d’extension des nombres de Catalan, enrichie pour satisfaire aux conditions posées par certains polynômes. L’ensemble de ces structures forme ce qu’ils appellent la “Géode”, un outil permettant de cartographier les solutions de manière nouvelle.

Réconcilier algèbre et géométrie

Là où les méthodes classiques cherchent à exprimer les racines des polynômes sous forme de radicaux ou de fonctions transcendantes, Wildberger et Rubine proposent une approche plus géométrique, reposant sur la logique des arrangements et des symétries.

Selon eux, l’obstacle n’est pas tant l’équation elle-même que la manière dont on tente de la résoudre. En refusant d’utiliser certains concepts jugés « non constructifs », comme les racines d’ordre n ou l’infini, ils redonnent une place centrale à des outils plus concrets, comme les séries formelles. Celles-ci permettent de manipuler des expressions symboliques, sans avoir besoin d’évaluer précisément chaque terme.

“Les séries formelles offrent des alternatives algébriques et combinatoires explicites aux fonctions qui ne peuvent être concrètement évaluées”, écrivent-ils dans leur article. “Elles devraient occuper une place plus centrale dans les mathématiques modernes.”

Réactions et perspectives

Leur article, publié dans l’American Mathematical Monthly, une revue à comité de lecture de la Mathematical Association of America, est rigoureux et didactique. Chaque concept est introduit avec soin, les définitions sont précises, et les arguments construits pas à pas. Le ton est presque celui d’un manuel universitaire, ce qui rend leur travail accessible à toute personne ayant des bases solides en mathématiques.

Reste à voir comment la communauté scientifique réagira. Le caractère non conventionnel de l’approche, et la personnalité iconoclaste de Wildberger, peuvent jouer en leur défaveur dans certains cercles académiques. Mais les idées sont là, et le potentiel aussi.

Sur le forum Hacker News, Rubine raconte : “Quand Wildberger a dit qu’il allait résoudre le polynôme général, j’ai cru à une blague. Mais il était sérieux. Deux ans plus tard, il avait trouvé une méthode, et il ne restait plus qu’à l’écrire.”

Vers une révolution discrète ?

Ce travail ne prétend pas tout résoudre. Il ne contredit pas les résultats classiques, notamment ceux établis par la théorie de Galois, qui prouvent qu’il est impossible de trouver une formule unique par radicaux pour tous les polynômes de degré supérieur à 4.

Mais là où les méthodes classiques jettent l’éponge, Wildberger et Rubine proposent un autre chemin. Leur approche est constructive, rigoureuse, et potentiellement applicable à des domaines comme la cryptographie, l’analyse symbolique ou l’algorithmique.

Avec leur “géode hyper-catalane”, ils ouvrent une brèche dans une forteresse mathématique que l’on croyait impénétrable. Une chose est sûre : leur travail suscite déjà de nombreuses questions. Et peut-être, avec le temps, d’autres chercheurs s’en saisiront pour l’approfondir — ou le challenger.