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La face cachée des tables de multiplication

Crédits : Capture vidéo

Mickaël Launay est un enseignant devenu Youtuber qui propose aujourd’hui un grand nombre de vidéos sur sa chaîne Micmaths autour des mathématiques. Récemment, il a posté une vidéo expliquant les tables de multiplication d’une manière que l’on connait bien peu : l’arithmétique modulaire. Le résultat des calculs donne des figures extraordinaires.

La seule image dont on peut éventuellement se souvenir de l’arithmétique modulaire, c’est celle de la trigonométrie. Mais il s’agit de la même mécanique pour une simple horloge : à chaque fois que l’aiguille réalise un tour de cercle, on revient sur le même chiffre. Mathématiquement parlant, on dit que l’horloge a un système modulaire de 12 : le nombre 13 revient sur le nombre 1. Pour ceux qui ont fait un peu de trigonométrie, le module du cercle de rayon 1 est de 2 π.

Ce type de système peut nous permettre de représenter les tables de multiplication. En plaçant un certain nombre de points sur un cercle et en reliant les points suivant une multiplication, on obtient une figure. Voici par exemple la table de 2 modulo 10 :

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Crédits : Capture vidéo

1 x 2 = 2 ; le point 1 est relié par un trait au point 2. 2 x 2 = 4 ; les points 2 et 4 sont reliés. 6 x 2 = 12 ; or, dans ce système modulaire de 10, le 12 est équivalent au point 2 : les points 6 et 2 sont donc reliés. Et on procède ainsi pour les 10 nombres du système modulaire.

Mais là où cela devient particulièrement fascinant, c’est lorsqu’on passe à des modules beaucoup plus importants avec plusieurs centaines de points.

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Les tables de 2, 3 et 4 représentées dans un système modulaire très grand / Crédits : Captures vidéo

On s’aperçoit que les figures forment des pétales, leur nombre correspondant au chiffre de la table – 1 (la table de 4 possède 3 pétales).

Et voici ce que cela donne lorsque l’on fait varier notre nombre multiplicateur avec un module très grand (ici, on a les tables entre 369 et 371 avec un module de 855) :

tables-de-multiplication-modulaires_5232344_GIFSoup.com

Si vous souhaitez créer vous-même ces tables, il vous suffit de cliquer sur ce lien pour accéder à l’application.